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1 、  电路的零输入响应

图 1 RC电路的放电过程

    在图1 （ a ）中，换路前（ S1 闭合， S2 断开），电路是由电容 C 与电压 的直流电压源联接而成，电容电压 。当 t=0 时，打开 S1 并合上 S2, 使电容脱离电源而改接于电阻 R 上。此后 , 电容通过电阻放电，电容电压将由它的初始值开始，随时间的增长逐渐减小以趋近于零。在放电过程中，电容内的电场能量将转化为电阻发热损耗的能量。

    求解电容通过电阻放电时的放电电流和电压随时间变化的规律，也就是求解图1(b) 所示电路的零输入响应。为此，必须建立换路后电路的微分方程。

按照图中标明的电容电压和电流的参考方向，电容电压和电流的关系式应为                               

基尔霍夫电压定律，可得电路的微分方程为

                                     （ 1 ）

此微分方程的特征方程为      

特征根为                  

该微分方程的通解为              （ 2 ）

该微分方程的初始条件显然是    

由式 (2) ，令 ，并将初始条件 代入，得到

从而得到在给定初始条件下，电容上的零输入响应电压

                                  （ 3 ）

零输人响应电流（即放电电流 ) 则应为

                              （ 4 ）

或          

电容电压 和电流 随时间变化的曲线如图 2 所示。

                 图2 RC电路的零输入响应曲线

    函数式和曲线均表明：在 RC 电路的放电过程中，电容电压 从它的初始值 开始，随时间的增长按指数规律逐渐下降以趋近于零。电流 在放电初瞬（ 时）形成 — 个正跳变，即从 跳变到 。 这是电 容上的原有电压 在换路后的初瞬突然加到电阻 R 上所造成的结果。以后，随着电容电压的逐渐下降，放电电流也按相同指数规律逐渐衰减直至消失。

    在给定电容电压初始值 的情况下，电容 C 越大，电容中储存的电荷越多，放电需要的时间越长；电阻 R 越大，放电电流越小，放电需要的时间也越长。电容电压和电流衰减的快慢，决定于电路参数 R 和 C 的乘积。这个乘积是一个常量，具有时间的量纲，它代表电容电压和电流共有的指数衰减因子 衰减至其初始值的 e 分之一所需要的时间，故称之为指数衰减因子的时间常数(time constant) ．通常直接称之为 RC 电路的时间常数，以τ代表，即

                          τ＝ RC     (5)

    时间常数的概念表明，电容电压和电流衰减的快慢取决于电路的时间常数。 放电前电容上原有电压 的高低，将影响电容电压和电流在放电过程中任意 瞬时的函数值，但不能决定放电过程的快慢。

  说明：(1) 每经过时间τ，电容电压 ( 或电流 ) 衰减至原值 [ 指区间τ的起点电容电压 ( 或电流 ) 的数值 ] 的 36.8%。

        (2) 当 t ＝ 4 τ —5 τ时，电容电压（或电流 ) 将衰减至其初始值的1.84 ％ - 0.68 ％，一般己可忽略不计，而认为放电过程已基本结束。

    显然，时间常数τ愈小，放电过程进行得愈快；则愈慢。  

    ， RC 电路的零输入响应是依靠电容上的初始电压来维持的，或者说是依靠电容中原有电场能量来维持的。随着放电过程的进行，电场能量逐渐被电阻消耗，从而决定了 RC 电路零输入响应按指数规律衰减的特性。 RC 电路零输入响应的瞬时值决定于电容上的初始电压 和电路的时间常数τ。

 2、 RL 电路的零输入响应

  在图1 所示电路中，换路前 ，换路后电路中的响应即为 RL 电路的零输入响应。这时电路的微分方程为

                                        （ 6 ）

其特征方程为            

特征根为                                                      

该微分方程的通解为                       

代入初始条件               

即得零输入响应电流为                  ( 7 )

零输入响应电感电压 [ 参考方向与 一致 ] 为

                      (8)

电感电流 与电感电压 随时间变化的曲线如图4 所示。

    由函数式和曲线均可看出：在 RL 电路中，零输入响应电流 从 它的初始值 开始，随时间的增长按指数规律逐渐衰减以趋近于零。电 感电压 在换路后的初瞬有 — 个负跳变，即由 跳变到 。以后，随着电流的逐渐下降，电感电压的值也按同一指数规律逐渐哀减直至消失。

图4 RL电路的零输入响应曲线

电流和电感电压值衰减的过程，就是磁场能量放出的过程。衰减的快 慢决定于 RL 电路的时间常数τ＝ L ／ R ，增大 L 或减小 R ，响应的衰减减慢；则衰减加快。τ值也可根据电流 ( 或电感电压 ) 曲线用作图法求出 [见图4(a)] 。

    与 RC 电路的分析相似，大约经过 4 τ —5 τ的时间后，就可近似地认为零输入响应已衰减为零了。

    ，可知：

    (1) RC 电路 ( 或 RL 电路 ) 中的零输入响应电压和电流均以同一时间常数随时问按指数规律变化，仅初始值不同而已。只要求出了响应的初始值

和电路的时间常数τ，就可根据式 (3) 、 (4)[ 或式 (7) 、 (8)]直接写出电路的零输入响应。

   （2) RC 电路和 RL 电路的零输入响应都是电路原始状态的线性函数。例 如， 作为原始状态 的函数来看，满足齐次性与可加性；类似地，作为原始状态 的函数来看，也满足齐次性与可加性。

   （3)RC 电路的零输入响应与 RL 电路的零输入响应具有对偶性，二 者的时间常数也具有对偶性。但须注意， RC 电路的时间常数τ＝ RC ， RL 电路的时间常数τ＝ ，其中电容 C 与电感 L 互为对偶，电阻 R 则应与电导 互为对偶。

   采用“三要素法”分析一阶电路，可以省去建立和求解微分方程的复杂过程，使电路分析更为方便和高效。

适用于直流激励一阶电路的三要素法

     我们仍以简单一阶 RC 电路为出发点。 图1 所示 RC 电路的全响应结果如下：

图 1 一阶RC电路图

                   ( 1 )

             ( 2 )

由 图1 容易知道，电容电压 的初值为 ，电容电压的终值为 ；而电流 的初值为 ，电流 的终值为 。

观察式 ( 1 ) 、式 (2) 可见，一阶电路中任意电路变量的全响应具有如下的统一形式：

        ( 3 )

可见，为求解一阶电路中任一电路变量的全响应，我们仅须知道 三个要素 ：电路变量的 初值 、电路变量的 终值 以及一阶电路的 时间常数 。我们称式 ( 6-5-3 ) 为一阶电路分析的 三要素法 。三要素法同样适用于一阶 RL 电路，二阶以上动态电路不可采用此法。

推广的三要素法

    在前面分析一阶电路时，我们采用的独立源具有共同的特点，即所有独立源均为直流（直流电压源或直流电流源）。对于直流激励电路，换路前电路变量为稳定的直流量，换路后经历一个动态过程，电路变量过渡到一个稳定的直流量。我们容易根据电路的原始状态和电路结构确定电路变量的 初值f(0+)、电路变量的 终值 f(∞)以及一阶电路的 时间常数 。如果电路中激励源不是直流，而是符合一定变化规律的交流量（如正弦交流信号），则换路后电路经历一个动态过程进入稳态，此时的稳态响应不再是直流形式，而依赖于激励源的信号形式（如正弦交流信号）。此时，我们无法确定电路变量的 终值f(∞),故无法采用式 ( 3 ) “三要素法 ” 确定一阶电路全响应。对于这类一阶电路，我们可以采用推广的三要素法：

                  〔 4 )

式中， 为全响应的 初值 、 为电路的 稳态响应 、τ为电路的 时间常数 ，称为一阶线性电路全响应的 三要素 ， 为全响应稳态解的初始值。

“三要素”的计算与应用

     利用三要素法分析一阶电路的全响应时，必须计算出电路变量的 初值、电路变量的 终值 以及一阶电路的 时间常数 。。假设激

励源为直流电压源或电流源。

•  初值 f(0+) 的计算

   换路前，一般认为电路已进入稳态。根据电路结构以及元件属性，我们不难确定动态元件的原始状态（电容元件的电压 或电感元件的电流 ）。在有限激励的作用下，电容元件的电压或电感元件的电流不会发生突变。在 时刻，电容元件的电压 或电感元件的电流 维持原始状态不变。我们可以用一个电压源 取代电容元件，或用一个电流源 取代电感元件。此时，电路被转换成电阻电路，借助于电阻电路的支路分析法、回路分析法、结点分析法、戴维宁定理等即可计算出响应信号的初值 。

•  终值 f(∞)的计算

   换路后，动态电路经过一个过渡过程，进入稳态。在直流激励情况下， t=∞时，电容电压和电感电流维持某个不变的取值。电容元件电流为 0 ，可以用开路元件取代，电感元件电压为零，可以用短路元件取代。与初值计算相似，电路被转换成电阻电路，借助于电阻电路的分析方法即可计算出响应信号的终值 f(∞)。

•  时间常数 τ的计算

    实际的一阶电路可能元件数量较大，结构较复杂，电路中包含多个电阻元件、独立源、受控源和多个电容或电感。若电路满足一阶电路的条件，则其中的电容元件或电感元件之间必有强烈的相关性，表现在电路连接上为串联、并联或混联关系。此时，换路后的电路模型可以看作由为某个电容网络或电感网络与一个含源电阻网络相连组成，如图2 （ a ）所示。对电路中电容网络或电感网络进行串、并联计算，得到一个等效电容 C eq 或一个等效电感Leq ，将含源电阻网络进行诺顿等效或戴维宁等效，得到图2 （ b ）所示等效一阶电路。则一阶电路的时间常数τ 可计算如下：

    或                           〔5 )

（ a ）电路模型分解         （ b ）等效电路

图2 一阶电路的电路模型分解与等效